Para saber si una variable existe y está inicializada con un valor distinto a vacío, es decir, que no se ha inicializado con:

variable=""

Lo podemos comprobar con [ "$variable" ]

Veamos un ejemplo y vamos a ir evolucionándolo para ver sus posibilidades:

#!/bin/bash
if [ "$variable" ]
then
    echo "La variable existe y no está vacía"
else
    echo "La variable no existe o está vacía"
fi

Devuelve:

La variable no existe o está vacía

Ahora vamos a probar con la variable inicializada vacía:

#!/bin/bash

variable=""

if [ "$variable" ]
then
    echo "La variable existe y no está vacía"
else
    echo "La variable no existe o está vacía"
fi

Y nos vuelve a dar:

La variable no existe o está vacía

Así que vamos a dar un valor. En un alarde de imaginación, a la variable variable le voy a dar un valor de valor:

#!/bin/bash

variable="valor"

if [ "$variable" ]
then
    echo "La variable existe y no está vacía"
else
    echo "La variable no existe o está vacía"
fi

Y al ejecutarlo, devuelve:

La variable existe y no está vacía

Para comprobar que no está vacía, lo que podemos hacer es comprobar si existe. Si existe y no contiene nada es que su valor es "". Esto lo haremos con [ -n "${variable-unset}" ], que dará verdadero si no existe:

#!/bin/bash

variable="valor"

if [ "$variable" ]
then
    echo "La variable existe y no está vacía"
else
    if [ -n "${variable-unset}" ]    
    then
        echo "La variable no existe"
    else
        echo "La variable existe pero está vacía"
    fi
fi

Que nos devuelve:

La variable existe y no está vacía

Y ahora probaremos si la cadena está vacía:

#!/bin/bash

variable=""

if [ "$variable" ]
then
    echo "La variable existe y no está vacía"
else
    if [ -n "${variable-unset}" ]    
    then
        echo "La variable no existe"
    else
        echo "La variable existe pero está vacía"
    fi
fi

Que devuelve:

La variable existe pero está vacía

Y sin variable (la comento):

#!/bin/bash

# variable=""

if [ "$variable" ]
then
    echo "La variable existe y no está vacía"
else
    if [ -n "${variable-unset}" ]    
    then
        echo "La variable no existe"
    else
        echo "La variable existe pero está vacía"
    fi
fi

Que devuelve:

La variable no existe